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“緣冪勢既同,則積不容異。”朱載堉將一句話拿了出來,麵色凝重的說道:“要理解這句話的意思,是非常困難的。”
這句話的意思是,等高的兩立體,若其任意高處的水平截麵積相等,則這兩立體體積相等。
朱載堉拿出了兩個立方體,第一個是正立方體,一個是球,這個正立方體的邊長是球的直徑,他將兩個小球遞給了張宏給陛下查驗後,才開口說道:“這是從一個錯誤開始的。”
“九章算術中說:黃金方寸重十六兩,金丸徑寸重九兩,率生於此,未曾驗也。就是說邊長為一寸的金屬球重為十六兩,而直徑為一寸的球體,為九兩。”
“進而我們得到了一個球體公式,也就是v=9/16d。”
“這個公式自從周朝就開始用了,《周官·考工記》:朅氏為量,改煎金錫則不耗,不耗然後權之,權之然後準之,準之然後量之。”
朱翊鈞聽聞之後,疑惑的問道:“用實際測量的方法算出的球體公式,誤差有多少呢?”
張居正拿過了算盤劈裡啪啦的打了下,解答道:“9/16-π/6≈0.038901,顯而易見,差彆不是很大,但是算學就是如此,不對就是不對。”
朱載堉繼續說道:“是以九與十六之率,偶與實相近,而丸猶傷耳,按9/16的比率,來計算球和外切立方體體積時,則球的體積較實際多一些,多多少?多0.038倍左右。”
“我們之前在割圓的時候就講到過,割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。”
“就是說,點構成了線,線構成了麵,這也是麵積口訣得到的基本原理。”
“我們知道一個圓的麵積等於外切正方形麵積的π/4,1300年前,劉徽思索能不能找到一個立方體,讓這個立方體不管從哪裡去切,它的橫截麵,都是一個圓和外切正方形呢?”
“劉徽設計了一個這樣的立方體,名字叫牟合方蓋,牟相同,合蓋上,方,就是說這個立方體的每一個麵的橫截麵都是正方形,蓋雨傘,它的形狀是兩個方形的雨傘,扣在一起,正好和球完全相切。”
“劉徽將兩個底麵半徑相同的圓柱體相交,然後將公共部分截取出來,得到了這個立方體。”
“這個時候,隻要求出這個立方體的體積,乘以π/4,就得到了球的體積。”
“可惜,劉徽始終無法求出這個立方體的體積,說:陋形措意,懼失正理。敢不闕疑,以俟能言者,期許後人的智慧了。”
朱翊鈞拿到了牟合方蓋,這是朱載堉做的教具,得益於大明工匠們的巧手,將兩個圓柱相交部分截出來的牟合方蓋,這玩意的體積的確不好求,它不規則。
朱載堉才繼續說道:“1000多年前,祖衝之的兒子祖暅解決了這個問題。”
“它將牟合方蓋切成了八個小牟合方蓋,然後截開,利用勾股定理等計算,將小牟合方蓋減掉1/8球的體積,轉化為了一個方錐的體積,得到方錐體積,就能得到小牟合方蓋的體積為2r/3,大牟合方蓋的體積為16r/3,球的體積等於4πr/3,解決了這個問題。”
“等高的兩立體,若其任意高處的水平截麵積相等,則這兩立體體積相等,祖暅用這個方法,解決了圓錐體積公式,陛下這個很難理解。”
朱翊鈞則是笑著說道:“緣冪勢既同,則積不容異,不是很難理解。”
小皇帝稍微思考了下,拿出了鉛筆,稍微畫了兩下,讓張宏下去準備,沒一會兒張宏拿過來了一個圓柱體,和一堆的銀幣。
“這是泰西來的銀幣,這是和銀幣底麵半徑相等的圓柱體。”朱翊鈞將銀幣隨意摞了起來,笑著說道:“它們體積相等,求圓柱體體積就是求銀幣的體積之和。”
張居正和朱載堉互相看了一眼,再看著摞在一起的銀幣和圓柱體,隻能說,數學這件事上,似乎從來沒有難住過陛下,陛下總是能夠精準的理解這些內容。
朱載堉在講什麼?講的是積分,無窮求和。
微分,是無窮切割,積分就是無窮求和,微分和積分互逆運算,就是微積分。
大明在數學領域,完全有資格進行考古式科研,能把一千多年前的數學原理搗鼓明白,大明的算學就已經,完完全全站在了世界的頂端。
“皇叔,是這樣嗎?”朱翊鈞笑著說道。
朱載堉俯首說道:“是這樣的,陛下英明。”
“難道僅僅這樣嗎?不能更進一步嗎?”朱翊鈞接著說道。
更進一步?朱載堉陷入了一些迷茫之中,還如何再進一步呢?他缺少一個數學工具才能再進一步。
“慢慢來就是了。”朱翊鈞站起來,笑著說道:“皇叔鑽研有方,重重有賞!”
考古式科研,不是什麼不可以接受的事兒,無窮求和的概念,能夠解決許多的現實問題,比如如火如荼的清丈,測量不規則圖形麵積的問題,就可以用到這種思想。
將一個不規則的圖形,切割成以步為寬的小矩形,在步的左側建立一個小矩形,在步的右側建立一個小的矩形,步左和步右的矩形麵積之和除以二,得到不規則田畝的麵積,這個方法,在實際清丈中,運用的爐火純青。
“陛下,程大位有丈量步車獻上。”朱載堉其實對恩賞並不是很看重,他對這些身外之物,向來不怎麼在意,要不然也不能在王府外的土房子裡,一住就是十幾年了。
朱載堉更加在乎,自己的誌向能夠達成,而且正在一步步的達成,陛下對他的科研工作的支持,就三個字,無上限,要什麼給什麼。
“丈量步車?”朱翊鈞本來以為今天的算學已經結束,沒想到還有大貨在等著他,他滿是笑意的說道:“快快呈上來。”
程大位將一輛丈量步車推了上來,將一本書遞給了張宏。
這本書上是關於丈量步車的詳細記錄,完整的零件圖、總裝圖、設計說明和改型說明,這是精確記錄,度數旁通的成果,也就是說,隻需要將這本書發下去,大明各地就可以利用這本書裡的設計,大量製造丈量步車,測量大明田畝數量。
這東西說複雜看起來的確複雜,木製的外套、十字架,竹製的篾尺,鐵製的轉心、鑽腳和環等部件組成,但其實就是後世用的卷尺。
程大位介紹著自己的丈量步車說道:“古者量田較闊長,全憑繩尺以牽量,所需人力極多,而且差錯極大,不能精確。通過轉動實現尺體的收放,蔑尺之上,逐寸寫字,每寸為二厘;五寸為一分;五尺為一步,依次而增,至三十步以上或四十步以下可止,篾上用明油油之,字不易脫落,還容易清洗。”
五尺為步,步二百四十為畝,畝百為頃。
“好物,好物。”朱翊鈞看著麵前的卷尺,不住的點頭說道:“先生,刊刻後送到南衙清丈使用可好?”
“臣遵旨。”張居正俯首說道。
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卷尺的應用,將會大大的加快大明清丈,厘清天下田畝的具體數量,將已經近兩百年未曾動過的魚鱗冊,好好核算清楚明白。
洪武二十六年,全國共核查出土地850萬頃,大約有八億五千萬畝地,到了後來,這個魚鱗冊,圖冊已紊亂失實,在明孝宗弘治十五年後,全國登記在冊的土地隻有422萬頃,一百零九年的時間裡,減少了一半。
孝宗之後,422萬頃這個嚴重失真的田畝數,一直是大明正賦的標準田冊,而張居正要做的就是搞清楚天下田畝到底有多少,搞清楚天下田畝到底在誰的手裡,田在誰手裡,就問誰征稅。
在原來的曆史線裡,張居正在萬曆九年將天下除河南的田畝全部清丈完畢,共計7013976頃,並且成為了後來的收稅底冊,這也是萬曆皇帝能夠胡作非為的底氣。
把田畝在誰手裡搞清楚,張居正死後,不被清算才是怪事。
朱翊鈞離開文化殿偏殿的時候,對著身邊的張居正低聲說道:“先生,請一定要保護好自己。”
張居正再俯首,向著文淵閣走去,張居正一邊走一邊思考問題,他要考慮考成法的糊名製度的漏洞,要考慮清丈過程中的種種姑息,要考慮土蠻諸部的蠢蠢欲動,要考慮西北族黨會不會和俺答汗真正的走到一起…他要考慮很多很多,先帝將帝國和小皇帝交到他的手裡,他要在還政的那天,將一個鼎盛的大明朝還給陛下。
而他並沒有注意到,小皇帝在看他。
而朱翊鈞看著文淵閣那迥異的黑色琉璃瓦,一直看著張居正走進了文淵閣內,小皇帝歪著頭對張宏說道:“張大伴,你說先生到底圖什麼呢?”
張宏搖了搖頭說道:“陛下這個問題,估計也是廷臣、朝臣、天下勢要豪右、權豪縉紳們心中盤亙不去的問題,先生到底圖什麼呢?”
“臣嘗思索,隻得到了一個答案,那就是:報先帝、而忠於陛下之職分也。”
朱翊鈞平靜的說道:“先生想做諸葛孔明,有些人不想讓他做,沒事,牛鬼蛇神儘管前來,大不了,就把這天下燒的乾乾淨淨便是。”
在文淵閣內處理帝國政務的張居正猛地打了個哆嗦,看向了文華殿的方向,總覺得剛才一陣心悸。
“東北戰事再起,西北仍有族黨之虞。”呂調陽將一本奏疏貼上了空白浮票。
這又是一本彈劾張居正的奏疏,彈劾的內容還是老調重彈的張居正威震主上,隻是參加廷議的呂調陽非常清楚,這幫人心裡根本沒數,真的把張居正給彈劾倒台了,小皇帝當政,局麵隻會更加糟糕。
看看之前禮部尚書陸樹聲致仕,小皇帝一句話沒跟陸樹聲說,今天張翰一說致仕,陛下立刻答應,不是張居正從中周旋,怕是張翰現在已經滾蛋回家了。
張居正滿是玩味的說道:“王崇古當家,張四維就作不了什麼亂。”
“哦?元輔的意思是,這次張四維遇害,是王崇古乾的?”呂調陽稍微斟酌了一下張居正的話,立刻品出了幾分不同,對於張四維被人下毒,到底是誰下的手,眾說紛紜,高拱的嫌疑最大。
讓呂調陽意外的是,居然沒人懷疑張居正下的手,這就是張居正最可怕的地方,張居正不用陰謀詭計,就可以大獲全勝。
“這可是你說的,不是我說的。”張居正沒有做出正麵回應,但是他卻是知道,是王崇古對張四維下手了。
遊七的人脈很廣,廣到知道到底是誰做這些事,遊七也大約知道了張府那個庖廚,逃亡了四川,但是逃到了哪裡,就完全不知道了。
呂調陽聽聞也是嗤笑一聲說道:“真的是,狗咬狗一嘴毛,小人傾軋果然是不堪入目。”