IMO一階段集訓結束，喬喻雖然是打算休息的，但還是老老實實寫了一份讀論文的心得發給了田導跟華清的袁老。這次還真不是為了讓兩位導師知道自己有多刻苦，而是有目的的。
因為整個集訓期間他一直研究幾何朗蘭茲猜想那篇論文。
田導不知道會不會找人看看他的心得，但喬喻相信袁老肯定隨手就會轉發給潘教授。
這樣，如果他有什麼理解出問題的地方，潘教授也能給他指出來。
之所以不自己直接發給潘教授，主要還是因為喬喻自己都感覺到不好意思了。
己所不欲，勿施於人。
如果有人每天想到一個問題，就直接發給他……而且每天都能總結出好幾個問題，還持續了近半個月，喬喻感覺他已經把這貨給直接拉黑了。
潘教授雖然沒把他拉黑，但他已經明顯感覺到這位華清教授消息回得越來越慢了。
反正加他的前兩天是回消息最快的，幾乎是有問題，都馬上會回，之後回複消息就越來越慢了。
集訓期間，甚至有他前一天他發的問題，過了整整一天半潘教授才給回複的情況出現……
喬喻並沒有考慮過是不是他提的問題越來越刁鑽，潘教授也需要去跟人討論一下，才敢給回複。而且潘教授也沒告訴他，現在他壓根不在華清，而是出國開會去了。
喬喻隻是敏感的覺得潘教授大概是變了，開始有些煩他了，這個問題又不好直接問出口，也隻能迂回一下了。
接下來的一周也沒什麼好說的，書繼續看，論文繼續讀。
無非是之前本該看關於素數的論文，喬喻改成了看那八百多頁的幾何朗蘭茲猜想論文。
邊看邊學，無疑會拖累看論文的速度。
這周看的書在正常教授看來，也開始不成係統。
但這本就是喬喻最擅長的方式，按需找書看。
關於幾何朗蘭茲綱領要看的書還挺多，之前喬喻覺得累，是因為沒有方向，但現在有了奮鬥的目標，這種任務反而不會感覺有多累了。
而且集訓時間安排並不算緊湊，集體生活還保證了喬喻每天十一點能準時睡覺，早上六點半準時起床，前段時間少了的睡眠，集訓期間全補上了。
對了，還有一件事值得一提。
餘永俊把龔家濤也拉進了朋友群。
沒辦法，這幾天就屬兩人處的最好。不過作為群主，當喬喻看到這兩人在同一個群裡，便決定以後群裡要更少說話了。
畢竟明騷易躲，暗賤難防。
餘永俊就屬於標準的明騷型人物，大腦跳躍能力極強，但各種不要臉的騷操作，他隻說不做。
龔家濤自然就是暗賤了，看著平裡看著人模狗樣的，但玩起各種小手段放得很開，成不成先做了再說。
至於餘偉……
本來喬喻還覺得他是群裡唯一良善的好人來著，就是性格孤僻了些。但現在看來，這家夥說謊的時候能臉不紅心不跳，很腹黑的樣子。
這一度讓喬喻懷疑這些人之所以要搞競賽，而不是正常參加高考，很可能是因為如果參加高考，會讓大家發現以他們的思想政治水平，都應該立刻批捕然後馬上槍斃……
當然，感覺是相互的。
喬喻不知道的是，餘永俊跟龔家濤經常私下裡聊天時，其實也有類似觀點……比如像喬喻這樣的非人類就不該跟他們一起參加數學競賽，歸宿應該是送到某個高端生物實驗室直接做活體切片研究。
競賽階段結下的友誼，就是如此的純粹跟美好。
當然這並不代表兩邊真會勢同水火。
其實大家一直都在相互學習。就好像喬喻覺得應該學習餘永俊跟龔家濤的厚臉皮，而龔家濤跟餘永俊則商量好了，這次回學校之後，一定要找些同學，也跟他們玩邊打遊戲邊解題的遊戲。
他們甚至私底下偷偷試了試，如果把奧賽題換成高中一般的普通練習題，還是能拿捏的。
當然競賽規則要稍微改改，以及不能跟那些遊戲玩的很強的家夥對局。
但這些似乎也不是什麼問題，他們所在的高中對於普通學生而言，能跟上大部分同學的步伐，就已經需要竭儘全力，並沒有太多餘力放在遊戲上。
畢竟這年頭求學階段真正有資格在遊戲上揮霍些時間的，還得看小學生……
但兩人的理由也很充分，隻有找回被人踩在腳下的自尊，才能重新收獲自信，在國際大賽中獲得好成績。
從這一點上來說，四人朋友群裡，能一筆寫出良善兩個字的，大概還真隻有餘偉。
不過喬喻無所謂。
唯一讓他唏噓的是，最近連田導跟對麵的師爺爺回他消息都越來越慢了。
好吧，學期伊始，大佬們都是很忙的，喬喻如此安慰著自己。
但也還是有收獲的，比如回消息越來越慢的潘教授某天突然冒泡，直接給喬喻發來了一個地址，並給了他一個賬號密碼。登陸之後，喬喻便發現裡麵最新的幾個視頻全是關於幾何朗蘭茲猜想近期召開的各類報告會視頻。
雖然主講還是由丹尼斯跟山姆兩位主要領軍人物，但也包括了整個團隊的所有人，其中也有潘教授，幾場報告會論證的側重點也有所不同。
喬喻還敏銳的注意到，那個男人是出鏡第三多的……
毫無疑問，對於喬喻而言，這些報告會的探討內容非常有用，也的確解開了他不少疑問。
比如對於論文的整體證明思路，有了一個高瞻建瓴的了解，這樣再去通讀論文細節的時候，很多之前想不明白的問題，就能迎刃而解。
最重要的是，這讓他愈發肯定自己的直覺也許沒錯。
在通過將一致等價性結果擴展到一般情況的時候，需要頻繁的使用代數幾何或範疇論中的局部全局現象定位與全局的相互作用。那麼如果在局部調用時出現一些微小的錯誤，必然會引起全局性的錯誤。
這甚至可能導致作者們所證明的那個關鍵定理——Ambidexterity適用性可能在某些特定情況下受到限製
要知道最後一篇論文，就是利用這一結論，將猜想推廣到一般情況，如果最關鍵的Ambidexterity定理適用性在論文所探討的情況下受到限製，那麼這次關於幾何朗蘭茲猜想的證明隻能宣布失敗。
但喬喻想要證明這一點依然不是簡單的事情。
因為這篇論文本身就依賴於特定的公理和設定，高階範疇論中的結果在特定的上下文中是正確的，但如果公理或範疇結構發生變化，定理的適用性也可能會受到影響。
甚至在幾何朗蘭茲綱領中，利用該定理處理的某些複雜同調代數問題已經得到了成功的解決。
用普通人能理解的話說便是，這篇論文是在數學家自行構造的環境中所做的結果，依賴於特定的理論背景和假設。想要證明有問題，喬喻可能需要想辦法證明構造出的整個框架有邏輯漏洞。
要知道現代數學中，公理化係統和範疇論框架的自洽性本就是高度嚴謹的。任何質疑或試圖發現邏輯漏洞的工作都必須基於更嚴密的推理和創新的視角，這使得質疑這種構造的任務極其困難。
但數學方麵想要證明錯誤的時候，也有一個最取巧的辦法，那就是構造一個反例。
反例在數學上是非常有力的工具，可以直接展示某個定理或推論在特定條件下不成立。理論上隻要他能在對方搭建的這套邏輯框架下，精心設計出一種代數幾何情形，且讓局部對象無法全局化滿足&nbidexterity定理的要求，就能達到這一目的。
如果能更進一步，通過這個反例討論出公理不匹配的原因，比如通過回溯證明中的技術假設，倒推出這篇論文中的漏洞，並給出一個初步的解決方案，那他大概就能再次成為數學界的明星……
當然，這依然不是個簡單的事情。
事實上，比喬喻目前為止遇到的任何難題都要難的多。
反正集訓結束後一周就那麼平平淡淡的過去了，他看書也想，看論文也想，甚至洗澡、睡覺的時候都在思考，但依然沒能構造出一個合適的反例來。
不過在坐在京城回星城的高鐵上，喬喻還是照例跟田導跟對麵的師爺爺發了自己這周的工作心得。
“尊敬的田導/師爺爺：這周我的主要工作依然是深入閱讀關於幾何朗蘭茲猜想證明，這周的主要收獲是，我對於其中一個關鍵結論，即Ambidexterity定理，產生了一些思考，特向您彙報。
&nbidexterity定理在該係列論文中起到了非常重要的作用，尤其在將猜想從特定情形推廣到更一般的代數幾何背景時起到了關鍵的支撐作用。
但隨著我進一步審視定理的結構和在幾何朗蘭茲猜想證明中的應用，開始對其適用性產生了一些疑問，尤其是在處理包含奇異點或複雜幾何情形時。
根據我淺薄的理解，該定理依賴於局部與全局對象的某種等價性，尤其是在同調代數和範疇論的框架中，它要求局部定義的幾何對象在全局上能夠保持一致。
這類局部全局等價性在光滑幾何背景下似乎是合理的，論文也討論了一些特殊情況，但我在思考一些更複雜的情形時，例如代數簇上含有非同一般的奇異點的情況，是否存在可能的局限性？
具體來說，我懷疑在某些特定奇異點附近的局部結構可能會導致同調代數中的某些性質，例如，局部的平坦性或射影性，將無法正確地全局化。
&nbidexterity定理必須依賴於局部幾何結構的這種良好行為，那麼在存在這類特定奇異點的代數簇上，定理的適用性是否會受到限製？
我目前還沒有找到具體的反例，但下周的集訓活動中我打算從以下兩個方麵進行深入思考：1、是否存在非同一般的奇異點會對局部同調代數性質的影響，引發定理的局部全局等價性被破壞。
&nbidexterity定理的證明過程中涉及了高階範疇論中的某些公理化結構。我想進一步探索這些範疇論公理在奇異幾何情形下的表現，是否存在某些隱含假設無法在更複雜的幾何背景中成立？
雖然我的想法可能在您看來肯定很幼稚，但我認為它們有一定的探索價值。幾何朗蘭茲猜想的證明非常複雜，而&nbidexterity定理作為其中的關鍵結論，任何潛在的適用性問題都可能對證明的有效性產生影響。
所以我希望能從奇異點處的局部幾何結構入手，進一步驗證定理的局限性和潛在的問題點，如果您有更好的思路，求您趕緊告訴我，您最親愛的學生/孫子，這一周第一次感受到了人真會掉頭發的苦惱。”
這篇心得是喬喻坐在高鐵上發給導師跟師爺爺的，他旁邊坐的就是這次IMO的領隊周梁教授。
但其實這些內容他昨天晚上就已經編輯好了，存在手機裡，剛剛所做的就是複製、黏貼把人名加上去，然後把結尾部分的自稱稍微改了下，然後點擊一下發送按鈕而已。
這麼做主要是為了不被導師或者師爺爺又叫去訓他一頓，說他不知道天高地厚。才看幾天論文，就想去找人家的漏洞——這是很有可能的。
老人家更能接受他在學習的過程中，發現了漏洞，而他的這份思考明顯就是抱著給人家論文挑刺的想法去的。
但沒辦法，老老實實按部就班的彙報，不能體現出這個問題的嚴重性。他現在就屬於非常需要兩位大佬提供幫助的時候，最好能調動許多大腦從這個方向出發，給他一些建設性的想法予以啟發。
自然要把他的想法如實說出來。
說白了就是既想充分利用身邊的資源，又不想承擔因此而引發的責任。
終究是被餘永俊跟龔家濤兩個家夥給帶壞了。
……
燕北大學，田言真還真沒想到喬喻會在今天突然又給發了這麼一條彙報。
因為要參加集訓的緣故，其實田言真已經默認了這一周喬喻可以稍微休息一下，誰想到喬喻不但沒休息，還向他展示了什麼叫我認真起來有多可怕！
其實幾何朗蘭茲猜想的證明，數學界之外，並沒有引發太多的討論。
因為朗蘭茲綱領對普通人來說太過遙遠了，甚至親和力都不如黎曼猜想、NS方程這些東西。
並不是說朗蘭茲綱領就一定比解決這些世界級猜想更難，主要是任何涉及到基礎理論統一性的東西，門檻都極高。
比如朗蘭茲綱領需要解決的主要問題是建立代數數域上的伽羅瓦表示和自守形式之間的橋梁，這玩意隻看定義就知道不花費幾年功夫在代數幾何、數論、表示論上，題乾都根本看不懂。
真的，不信可以去各大數學院采訪一下，光一個自守形式，都能讓無數大學生、研究生學到焦頭爛額，都還是半懂不懂，更有甚者直接一竅不通。
如果是朗蘭茲綱領所涉及的自守表示……那真就更是嗬嗬了。畢竟自守形式隻是抽象，而自守表示則是更高層次的抽象，描述的代數群如何作用在特定的Hilbert空間或Banach空間上，這些空間內的元素可能是解析函數或一些特殊結構。
而幾何朗蘭茲綱領則是研究代數曲線上局部係統和自守形式幾何化之間的對應關係。它隻是把經典朗蘭茲綱領中涉及的數論對象替換為代數幾何對象。
主要研究的就是把抽象的數論問題幾何化，使其可以在代數幾何框架中進行處理。這可以說不是解決具體問題，而是為數學家解決更具體的問題提供有價值的工具，具有如此廣泛的應用潛力。
這個領域主要吸引的也是那些希望為數論和代數幾何開辟新道路的數學家。
甚至可以把幾何朗蘭茲綱領理解為類似微積分這樣的重要數學工具。跟朗蘭茲綱領相同，微積分的誕生並不是為了直接解決某個特點問題，而是構建一套處理連續變化和極限問題的工具。
所以幾何朗蘭茲綱領可能徹底改變未來數學家處理某些問題的方式，正如微積分改變了這個時代的數學家處理變化的方式一樣，很自然的，對這塊感興趣的也都是數學家們。
因為一旦真有人能成功，意味著大家以後研究數論難題的時候，就有了新的框架可以直接拿來使用。通過一個新的維度去處理經典數論問題。
甚至在未來的某一天，就跟微積分一樣成為大學數學必修課的內容。
田言真其實也一直關心著幾何朗蘭茲猜想證明的發展。而且對於這次課題組獲得的成果同樣很看好。
但誰想到喬喻突然給他來了個大的。
自家學生懷疑人家研究了整整十五年有餘，才終於發布的成果有漏洞？！
咋說呢……
這要是真有漏洞還好說，但如果隻是臆想，還真是有些得罪人啊。
當然考慮到喬喻目前隻有十六歲，大概也沒人會真的跟他計較。但也正是考慮到喬喻隻有十六歲，看到這個喬喻發的這份周報，讓田言真心頭都有些開始打鼓。
還是過分了些。
論文才看幾天，就能有這麼多想法？！
想法的對錯姑且不論，但起碼說明喬喻看論文的時候是真的在對論文最基礎的那些東西進行解構。
在數學領域，這真的很強。
或者說能夠迅速抓住論文的核心並對其基礎內容進行解構，絕對是一眾數學家求而不得的能力。
深刻的理解能力，快速學習能力，強大的數學直覺，缺一不可。
如果再加上這小子真就是膽大包天，田言真隻覺得更喜歡了。
真的，這樣的學生，他覺得打著燈籠，短時間都不可能出第二個了。
除非這個世界瘋了……
又或者新的一輪科技大爆炸時代即將開啟，就好像量子物理被提出之後，一堆牛人前仆後繼的再此基礎之上，鋪出了一條康莊大道，通過量子力學解釋了電子如何穿越pn結、如何在場效應晶體管中實現控製電流，為半導體產業的發展奠定了理論基礎。
以此為鋪墊讓人類社會正式進入一個全新的電子信息時代。新時代的孩子們已經開始無法理解電報這種被埋進曆史塵埃的東西。而距離電報技術正式被淘汰，其實也不過短短幾十年。
打字機、傳真機、乃至於早期的撥號上網都在漸漸被遺忘。大概要不了幾年，這些曾經代表先進生產力的產品，就會成為曆史書中的記憶。
這個想法一旦在腦海中浮現，便讓田言真突然覺得興奮起來。